×àñò II. ÍÅËÈÍÅÉÍÀ ÐÅÃÐÅÑÈß*
2.1 ÂúâåäåíèåÍàèâíî å äà ñå ñìÿòà, ÷å ìíîãîîáðàçíèòå âðúçêè ìåæäó çàîáèêàëÿùèòå íè ÿâëåíèÿ ìîãàò äà áúäàò îáÿñíåíè åäèíñòâåíî ñ ïîìîùòà íà åäèí-åäèíñòâåí óíèâåðñàëåí ìîäåë. Ìàêàð ëèíåéíàòà ðåãðåñèÿ äà ñå èçïîëçâà óñïåøíî çà èçñëåäâàíå ñúñ çàäîâîëèòåëíà çà ïðàêòèêàòà òî÷íîñò íà åäíà ãîëÿìà ÷àñò îò èíòåðåñóâàùèòå íè âðúçêè è çàâèñèìîñòè, òÿ íå å â ñúñòîÿíèå äà îáÿñíè àäåêâàòíî ðåäèöà âçàèìîäåéñòâèÿ ïîä÷èíÿâàùè ñå íà åäíè ïî-ñëîæíè ÊÐÈÂÎËÈÍÅÉÍÈ çàêîíîìåðíîñòè. Àêî ëèíåéíèÿò ìîäåë ñå îêàæå íåàäåêâàòåí íà äåéñòâèòåëíîñòòà, íå íè îñòàâà íèùî äðóãî îñâåí äà ãî èçîñòàâèì è ïîòúðñèì äðóã ïî-ïîäõîäÿù ìîäåë, åñòåñòâåíî îòíîâî ñ ïîìîùòà íà… ìàòåìàòèêàòà.
* Âñúùíîñò òîâà íàèìåíîâàíèå íå å ñúâñåì òî÷íî, íî ïîðàäè øèðîêîòî ðàçïðîñòðàíåíèå, âêëþ÷èòåëíî è â ñåðèîçíè èçòî÷íèöè ùå èçïîëçâàìå íåãî.  äåéñòâèòåëíîñò, åäíà ëèíèÿ (â îáùèÿ ñëó÷àé) ìîæå äà áúäå ïðàâà èëè êðèâà, çàòîâà ïðàâèëíèÿò òåðìèí ñïîðåä ìåí å „êðèâîëèíåéíà ðåãðåñèÿ”.2.2 Ìàòåìàòè÷åñêè ìîäåëÑ èçó÷àâàíåòî íà ôóíêöèîíàëíèòå çàâèñèìîñòè ñå çàíèìàâà ñïåöèàëåí êëîí íà ìàòåìàòèêàòà – ìàòåìàòè÷åñêèÿ àíàëèç. Íèå íÿìà äà çàäúëáàâàìå ÷àê òîëêîâà è ùå ñå îãðàíè÷èì äî ðàçãëåæäàíåòî íà íÿêîé
åëåìåíòàðíè ìàòåìàòè÷åñêè ôóíêöèè (ïîâå÷åòî èçó÷àâàíè â ñðåäíîòî ó÷èëèùå), êîèòî ñà ïîëó÷èëè øèðîêî ïðèëîæåíèå çà ðåøàâàíåòî íà ðàçëè÷íè çàäà÷è â ïðàêòèêàòà. Òàêèâà ôóíêöèè ñà ñòåïåííà, ïîêàçàòåëíà, åêñïîíåíöèàëíà, ëîãàðèòìè÷íà, ïàðàáîëè÷íà, õèïåðáîëè÷íà è äðóãè, êàêòî è íÿêîè êîìáèíàöèè ìåæäó òÿõ.
Åòî íÿêîëêî ïðèìåðà:

a, b, c, d… – êîåôèöèåíòè
2.3 Ðåãðåñèîíåí ìîäåëÊîÿ îò âñè÷êèòå òåçè ôóíêöèîíàëíè çàâèñèìîñòè ùå áúäå ïîäõîäÿùà çà îñíîâà íà åäèí áúäåù íåëèíååí ðåãðåñèîíåí ìîäåë? Íå ìè å èçâåñòíî ñúùåñòâóâàíåòî íà íÿêàêúâ óíèâåðñàëåí ìåòîä çà îáîñíîâàí èçáîð íà êðèâà íà òîçè ðàíåí åòàï îò èçñëåäâàíåòî. Îò èçêëþ÷èòåëíà âàæíîñò å äà èìàìå íà ðàçïîëîæåíèå íÿêàêâè äàííè çà õàðàêòåðà è ëîãè÷åñêàòà ñúùíîñò íà èçñëåäâàíàòà çàâèñèìîñò â êîíêðåòíàòà îáëàñò íà ïðèëîæåíèå íà ðåãðåñèîííèÿ àíàëèç, êîåòî áè íè ïðåäïàçèëî îò åâåíòóàëíîòî äîïóñêàíå íà ãðåøêà îùå â ñàìîòî íà÷àëî. ×åñòî ñå ñëó÷âà îáà÷å, äà íå ðàçïîëàãàìå ñ ïîäîáíà èíôîðìàöèÿ è òîãàâà åäèíñòâåíîòî, ñ êîåòî òðÿáâà äà ñå çàäîâîëèì å ïîçíàòàòà íè äèàãðàìà íà ðàçñåéâàíå. Ñ íàäåæäàòà äà íè ïîäñêàæå íàêúäå åâåíòóàëíî ùå ñå „çàâúðòè” êðèâàòà.

 ãîðíàòà äèàãðàìà íàïðèìåð, ìîæå äà ñå çàáåëåæè åäíà îòíîñèòåëíî ïî-ñòðúìíà ëÿâà ÷àñò çà ìàëêèòå ñòîéíîñòè íà õ, â ñðàâíåíèå ñ ëåêè÷êî èçòåãëåíàòà êúì ïî-ãîëåìèòå ñòîéíîñòè íà õ äÿñíà ÷àñò (çà äà ñòàíå ïî-î÷åâÀäíî, ñúì ìàðêèðàë îáëàñòèòå ñ äâå ÷åðâåíè åëèïñè).
Åòî è íÿêîëêî ïðèìåðíè àïðîêñèìàöèè:

Âèæäàìå, ÷å ãðàôè÷íèòå èçîáðàæåíèÿ íà íÿêîè îò ôóíêöèèòå ñè ïðèëè÷àò òâúðäå ìíîãî è èçáîðúò íà êîíêðåòíà êðèâà ñàìî è åäèíñòâåíî ÷ðåç âèçóàëíà îöåíêà ïîíÿêîãà ìîæå äà ñå îêàæå òðóäíà çàäà÷à. Ñðåùàò ñå è ñèòóàöèè, â êîèòî òî÷êèòå îò äèàãðàìàòà ñà òàêà ïîäðåäåíè, ÷å å íåâúçìîæíî äà ñå ïðåöåíè äîðè ñ êîÿ ðåãðåñèÿ äà çàïî÷íåì – ëèíåéíà èëè íåëèíåéíà. Åòî çàùî å âàæíî îñâåí íàáèòî îêî, èçñëåäîâàòåëÿò äà ïðèòåæàâà è íåîáõîäèìàòà òåîðåòè÷íà ïîäãîòîâêà.
Íÿìà êàê, ùå òðÿáâà îòíîâî äà ïîíàïèøåì íÿêîëêî ôîðìóëè. Îáåùàâàì òåõíèÿò áðîé äà áúäå ìèíèìàëåí, à çà äà íå çàñïÿò íÿêîè ïî âðåìå íà èçëîæåíèåòî, ÷àñò îò „ñóõàòà” òåîðèÿ ïðåäïî÷èòàì äà ðàçãëåäàìå òàêà äà ñå êàæå „â êðà÷êà”, ïî âðåìå íà ðåøàâàíåòî íà íÿêîé ïðèìåð.
Ùå çàïî÷íåì ñ åäíà îïðîñòåíà, íî òâúðäå âàæíà êëàñèôèêàöèÿ íà íåëèíåéíèòå ìîäåëè. Íåçàâèñèìî îò ñâîåòî ðàçíîîáðàçèå, òå ìîãàò äà ñå êëàñèôèöèðàò â äâå îñíîâíè ãðóïè:
à) íåëèíåéíè ñàìî ïî îòíîøåíèå íà íåçàâèñèìèòå ïðîìåíëèâè x;
Òàêèâà ñà íàïðèìåð ìîäåëèòå:

è äð.
Òåçè ìîäåëè îïèñâàò ñúîòâåòíî ïàðàáîëè÷íà è õèïåðáîëè÷íà çàâèñèìîñò. Âúïðåêè ìîæå áè ñòðÿñêàùèòå çà íÿêîé íàèìåíîâàíèÿ – áåç ïàíèêà! Òîâà ñà îòíîñèòåëíî ïî-ëåñíèòå çà ïðèëîæåíèå íåëèíåéíè ìîäåëè (íàðè÷àò ñå îùå ”êâàçèëèíåéíè”). Ìàêàð è íåëèíåéíè â ñâîÿòà ãðàôè÷åñêà ñúùíîñò, òå èìàò áëèçêà “ðîäñòâåíà âðúçêà” ñ íàøèÿ ñòàð ïîçíàò îò ×àñò I. Íàïðèìåð, àêî ñå âãëåäàìå ïî-âíèìàòåëíî â ïúðâèÿ îò òÿõ ùå âèäèì, ÷å òîé ñå ðàçëè÷àâà îò ëèíåéíèÿ ñàìî ïî íàëè÷èåòî íà îùå åäèí ÷ëåí îò âòîðà ñòåïåí. Ïîäîáíî å ïîëîæåíèåòî è ïðè âòîðèÿ ìîäåë, àêî âìåñòî çà 1/õ ñè ìèñëèì çà õ’=1/x.
Áåç äà ñå âïóñêàìå â ìàòåìàòè÷åñêè ïîäðîáíîñòè áåøå íåîáõîäèìî äà íàïðàâèì òîâà ÂÀÆÍÎ óòî÷íåíèå, çàùîòî òî å êðàéúãúëíèÿò êàìúê, êîéòî ùå íè ïîêàæå íàêúäå äà ïðîäúëæèì. Åäèí îò âúçìîæíèòå ïúòèùà áè òðÿáâàëî äà íè å ïîçíàò, çàùîòî âå÷å ñìå âúðâåëè ïî íåãî – îöåíêèòå íà ðåãðåñèîííèòå êîåôèöèåíòè íà ìîäåëèòå îò òàçè ãðóïà ìîãàò äà ñå èç÷èñëÿò ñ ïîìîùòà íà
ìåòîäà íà íàé-ìàëêèòå êâàäðàòè (ÌÍÌÊ) òàêà, êàêòî ãî íàïðàâèõìå ïðè ëèíåéíàòà ðåãðåñèÿ. Ôîðìóëèòå ðàçáèðà ñå ðàçëè÷àâàò ìàëêî, íî ïðèíöèïúò íà òÿõíîòî èçâåæäàíå å ñúùèÿ.
Äà ñè ïðèïîìíèì, ÷å ñúãëàñíî òîçè ìåòîä ùå ïðåêàðàìå òúðñåíàòà êðèâà èçìåæäó âñè÷êè òî÷êè îò äèàãðàìàòà íà ðàçñåéâàíå òàêà, ÷å äà å èçïúëíåíî óñëîâèåòî:

Íàïðèìåð çà õèïåðáîëè÷íèÿ ìîäåë, îöåíêèòå íà êîåôèöèåíòèòå ùå íàìåðèì ÷ðåç ñëåäíèòå ôîðìóëè:
á) íåëèíåéíè ïî îòíîøåíèå íà êîåôèöèåíòèòå βÒàêèâà ñà íàïðèìåð ìîäåëèòå:

è äð.
– Åäíà ÷àñò îò òåçè íåëèíåéíè ìîäåëè ñúùî ïðèòåæàâàò „ðîäñòâåíà âðúçêà” ñ ëèíåéíèòå. Ñàìî ÷å ïî-äàëå÷íà è íå òîëêîâà ÿâíà. Çà äà ÿ âèäèì å íåîáõîäèìî òÿõíîòî „ðîäîñëîâíî äúðâî” äà ñå àíàëèçèðà ïî-ïîäðîáíî. Çà öåëòà ìîäåëèòå ñå ïîäëàãàò íà íÿêîè ìàòåìàòè÷åñêè ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîèòî ãè ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÈÐÀÒ â ëèíåéíè ïî îòíîøåíèå íà êîåôèöèåíòèòå. Òàêà òÿõíàòà „ñêðèòà” ëèíåéíîñò èçëèçà íàÿâå, êîåòî ùå íè äàäå âúçìîæíîñò äà ïðèëîæèì ÌÍMÊ çà îïðåäåëÿíå îöåíêèòå íà ðåãðåñèîííèòå êîåôèöèåíòè ïî ñúùèÿ íà÷èí, êàêòî ãî íàïðàâèõìå ïðè ëèíåéíàòà ðåãðåñèÿ. Òúé äå, òîëêîâà ìíîãî óñèëèÿ ïîëîæèõìå çà äà ñå íàó÷èì äà ïðèëàãàìå òîçè ìåòîä – íÿìà äà ñå äàäåì ëåñíî! Ùå ïðîäúëæàâàìå äà îïèòâàìå ñ òîçè ïîäõîä äîêàòî „íîìåðúò âñå îùå ìèíàâà”.
È òàêà, òðÿáâà äà îòêðèåì â êîè îò ïîêàçàíèòå ïî-ãîðå îòâðàòèòåëíî èçãëåæäàùè íåëèíåéíè ìîäåëè ñå å ñïîòàèë íàøèÿ ëþáèì ïîçíàò – ïðîñòè÷êèÿò è èçÿùåí ëèíååí ðåãðåñèîíåí ìîäåë. Çà öåëòà ïúðâî ùå ñè ïðèïîìíèì íÿêîè ìàòåìàòè÷åñêè îïåðàöèè ïðåäèìíî çà ðàáîòàòà ñ ëîãàðèòìè, ñ ïîìîùòà íà êîèòî äà òðàíñôîðìèðàìå íåëèíåéíèÿ ìîäåë çà äà ðàçêðèå òîé ñâîÿòà „ñêðèòà” ëèíåéíîñò.  çàâèñèìîñò îò ìîäåëà ïîäõîäúò å ðàçëè÷åí, íî åòî åäèí ïðèìåð çà
ëîãàðèòìè÷íà òðàíñôîðìàöèÿ:
Èìàìå íåëèíååí åêñïîíåíöèàëåí ìîäåë îò âèäà

Ëîãàðèòìóâàìå ëÿâàòà è äÿñíà ÷àñò íà óðàâíåíèåòî

è ïîëó÷àâàìå ëèíåéíèÿ ìîäåë

Êúì íåãî ïðèëàãàìå ÌÍÌÊ, íî òàêà ÷å äà ìèíèìèçèðàìå ðàçëèêèòå íà ëîãàðèòìèòå íà y è ŷ, à íå íà ïúðâè÷íèòå äàííè, ò.å.:

Ñëåä íÿêîè ïðåñìÿòàíèÿ ïîëó÷àâàìå òúðñåíèòå ôîðìóëè çà îöåíêèòå íà ðåãðåñèîííèòå êîåôèöèåíòè:

Àêî àíòèëîãàðèòìóâàìå ëèíåéíèÿ ìîäåë, ùå ñå âúðíåì êúì îðèãèíàëíèÿ íåëèíååí òàêúâ ñ âå÷å èçâåñòíèòå íè îöåíêè íà ðåãðåñèîííèòå êîåôèöèåíòè

Çàáåëåæêà: e = 2.718… å èðàöèîíàëíàòà îñíîâà íà íàòóðàëíèÿ ëîãàðèòúì èëè îùå ò. íàð. íåïåðîâî ÷èñëî. Äà íå ñå áúðêà ñ îçíà÷åíèòå ïî ñúùèÿ íà÷èí îñòàòúöè!Çà äîìàøíî:  ïîêàçàíèòå íåëèíåéíè ìîäåëè èìà è äðóãè, êîèòî îòêðîâåíî „ïðèêðèâàò” íÿêîè ëèíåéíè õàðàêòåðèñòèêè â ñâîÿòà „àâòîáèîãðàôèÿ”. Èçîáëè÷åòå ãè!
– Ïðè äðóãè ìîäåëè îò òàçè ãðóïà çàäà÷àòà ñ òðàíñôîðìàöèèòå íå å òîëêîâà ïðîñòà, a êëàñè÷åñêèÿ ïîäõîä çà ïðèëàãàíå íà ÌÍÍÊ ÷ðåç íåïîñðåäñòâåíî äèôåðåíöèðàíå íà ñèñòåìèòå óðàâíåíèÿ è íàìèðàíå íà êîíêðåòíè àíàëèòè÷íè èçðàçè (ôîðìóëè) ÷ðåç êîèòî äà èç÷èñëèì îöåíêèòå å ñâúðçàí ñ ðåäèöà òðóäíîñòè.  òåçè ñëó÷àè ñå ïðèëàãà äðóã ïîäõîä çà èç÷èñëåíèå íà îöåíêèòå íà ðåãðåñèîííèòå êîåôèöèåíòè, â îñíîâàòà íà êîéòî ñà
÷èñëåíèòå ìåòîäè (íàïðèìåð
ìåòîäúò íà Ãàóñ-Íþòîí). Ïî ñúùåñòâî òåçè ìåòîäè ñà èòåðàòèâíè è èçèñêâàò çíà÷èòåëåí èç÷èñëèòåëåí ðåñóðñ. Ïîðàäè òîâà, ïðèëîæåíèåòî èì áåç èçïîëçâàíåòî íà ñïåöèàëèçèðàí ñîôòóåð ìîæå äà ñå îêàæå èçêëþ÷èòåëíî òðóäîåìêî. Ïîâå÷å èíôîðìàöèÿ îòíîñíî òîçè íà÷èí íà èç÷èñëåíèå ëþáîçíàòåëíèòå ìîãàò äà íàìåðÿò â ñïåöèàëèçèðàíàòà ëèòåðàòóðà.
2.4 Âàæíè äîïóñêàíèÿËîãè÷íî å äà äîïóñíåì, ÷å çà íåëèíåéíèòå ðåãðåñèîííè ìîäåëè, çà êîèòî ïðèëàãàìå ÌÍÌÊ (äèðåêòíî èëè ñëåä òðàíñôîðìàöèÿ) ùå âàæàò ñúùèòå îãðàíè÷åíèÿ õàðàêòåðíè çà ëèíåéíèòå ìîäåëè (âèæ ×àñò I). Åñòåñòâåíî òðÿáâà äà ñå èçêëþ÷è èçèñêâàíåòî çà íàëè÷èå íà ëèíåéíà âðúçêà ìåæäó x è y â îðèãèíàëíèÿ ìîäåë.
Ïðè íÿêîè íåëèíåéíè ìîäåëè îáà÷å å âúçìîæíî äà íå ñà ñïàçåíè ÷àñò îò îãðàíè÷åíèÿòà. Íàïðèìåð:
–
ëîãèñòè÷íèòå ðåãðåñèîííè ìîäåëè ñå ïðèëàãàò è çà ïðåêúñíàòè (äèñêðåòíè) ïðîìåíëèâè ïðåäñòàâèòåëè íà ñëàáèòå ñêàëè (íàïðèìåð îò òèïà ÃÎÄÍÎ/ÍÅÃÎÄÍÎ), ïðè êîèòî îñâåí òîâà íèòî åäíî îò èçèñêâàíèÿòà çà ãðåøêèòå íå å èçïúëíåíî;
– èçèñêâàíåòî çà ïîñòîÿíñòâî íà äèñïåðñèÿòà íà ãðåøêèòå îáèêíîâåíî íå å ñïàçåíî è ïðè àñèìïòîìàòè÷íî êëîíÿùèòå êúì íÿêàêâà ñòîéíîñò íåëèíåéíè ìîäåëè (íàïð. åêñïîíåíöèàëíèòå). Òèïè÷íî çà òÿõ å, ÷å äèñïåðñèèòå çà ñëó÷àèòå â áëèçîñò äî àñèìïòîòàòà ñå ðàçëè÷àâàò îò îñòàíàëèòå.
Èçõîäúò îò ïîäîáíè ñèòóàöèè òðÿáâà äà ñå òúðñè â èçïîëçâàíåòî íà äðóãè ìåòîäè è òåõíèêè, êîèòî äà ñà â ñúñòîÿíèå äà êîðèãèðàò äî èçâåñòíà ñòåïåí òåçè íåñúîòâåòñòâèÿ. Íàïðèìåð:
– çà îöåíêà íà êîåôèöèåíòèòå ïðè ëîãèñòè÷íàòà ðåãðåñèÿ âìåñòî ÌÍÌÊ ñå ïðèëàãà
ìåòîäúò íà ìàêñèìàëíîòî ïðàâäîïîäîáèå (ÌÌÏ) â êîìáèíàöèÿ ñ èòåðàöèîííè ïðîöåäóðè;
– òðàíñôîðìàöèÿòà ïðè íÿêîè íåëèíåéíè ìîäåëè ìîæå äà ñòàáèëèçèðà âàðèàöèèòå íà äèñïåðñèÿòà íà ãðåøêèòå â òðàíñôîðìèðàíèÿ ìîäåë;
– ïî-íàäåæäíè îöåíêè ïðè íåïîñòîÿííè äèñïåðñèè ñå ïîëó÷àâàò ñ èçïîëçâàíåòî íà
ïðåòåãëåí ìåòîä íà íàé-ìàëêèòå êâàäðàòè (ÏÌÍÌÊ), êîéòî çà ðàçëèêà îò êëàñè÷åñêèÿ, „ïðåòåãëÿ” ñòîéíîñòèòå è èç÷èñëÿâà îöåíêèòå äàâàéêè ïðèîðèòåò íà òåçè ñ ïî-ìàëêà äèñïåðñèÿ, ò.å. íà ïî-ñèãóðíèòå.
Ðàçêðèâàíåòî íà ñúùíîñòòà íà ñïîìåíàòèòå ïî-ãîðå ìåòîäè è òåõíèêè èçëèçà èçâúí ñêðîìíèòå öåëè íà íàñòîÿùåòî ïèñàíèå. Ïîäðîáíîñòè ëþáîçíàòåëíèòå ìîãàò äà íàìåðÿò â ñïåöèàëèçèðàíàòà ëèòåðàòóðà.
Âñå ïàê, çàïîìíåòå ïîíå çà ñúùåñòâóâàíåòî íà ñïîìåíàòàòà ëîãèñòè÷íà ðåãðåñèÿ. Òÿ å âàæåí èíñòðóìåíò ïðè ðåäèöà èçñëåäâàíèÿ â ðàçëè÷íè îáëàñòè, êàòî: ñîöèîëîãèÿ; èêîíîìèêà; ìàðêåòèíã; ìåäèöèíà; ôàðìàöåâòèêà; èçêóñòâåíè íåâðîííè ìðåæè è äð. Çàòîâà ïî-íàòàòúê, êîãàòî èìàì âúçìîæíîñò ùå ñå îïèòàì äà âè çàïîçíàÿ ñúâñåì íàêðàòêî ñ íåéíîòî ïðàêòè÷åñêî ïðèëîæåíèå ÷ðåç åäèí óæàñÿâàùî ðåàëèñòè÷åí ïðèìåð.
Ìîæåì äà îáîáùèì, ÷å íåëèíåéíèòå ðåãðåñèîííè ìîäåëè íè äàâàò åäíà ïî-ãîëÿìà ñâîáîäà íà äåéñòâèå â ñðàâíåíèå ñ ëèíåéíèòå, çà êîåòî îáà÷å ïîíÿêîãà ñå ïëàùà è ïî-âèñîêà öåíà.
2.5 Ïðîâåðêè çà àäåêâàòíîñò íà ðåãðåñèîííèÿ ìîäåëÄà êàæåì íÿêîëêî îáùè äóìè è çà äèàãíîñòèöèðàíåòî íà íåëèíåéíèòå ìîäåëè. Ïîäîáíî íà ëèíåéíèòå, òå ñúùî ñòðàäàò îò ðàçíè áîëåñòè, ÷å äàæå è ïîâå÷å. Íÿêîè òèïè÷íè òåõíè áîëåæêè áÿõà ñïîìåíàòè â ïðåäõîäíàòà òî÷êà. Ñúùî òàì áÿõà ïðåïîðú÷àíè è âúçìîæíè òåðàïèè (èçâèíÿâàì ñå çà ìåäèöèíñêèòå òåðìèíè, íî òî å ïî ïðè÷èíà, ÷å äîêàòî ïèøà ñ åäíîòî óõî äîëàâÿì îò òåëåâèçîðà îæåñòî÷åíà äèñêóñèÿ îòíîñíî ïîðåäíàòà øàíòàâà äèàãíîçà ïîñòàâåíà îò ä-ð Õàóñ).
×åñòî ñðåùàíà ñèòóàöèÿ å äâà èëè ïîâå÷å ìîäåëà äà ïîêàæàò ïðèçíàöè çà àäåêâàòíîñò îò ãëåäíà òî÷êà íà èçïúëíåíèå èçèñêâàíèÿòà çà ïðèëàãàíå íà ÌÍÌÊ. Òîãàâà èçíèêâà âúïðîñúò êîé îò òÿõ å íàé-äîáúð? Çà ïðåöèçíèÿ èçáîð íà îêîí÷àòåëåí ìîäåë ìîãàò äà ñå èçïîëçâàò êàêòî ïîçíàòèòå íè ãðàôè÷íè ìåòîäè (âèçóàëíà îöåíêà íà äèàãðàìèòå íà ðàçñåéâàíå è íà îñòàòúöèòå), òàêà è àíàëèòè÷íè ìåòîäè èçïîëçâàùè ðàçëè÷íè êðèòåðèè (R
2, Cp, AIC è äð.), à ñúùî è êîìáèíàöèÿ îò äâàòà ïîäõîäà. Ïðè âñè÷êè ñëó÷àè, èçñëåäîâàòåëÿò òðÿáâà äà ñå ðúêîâîäè â ñâîÿ îêîí÷àòåëåí èçáîð îò ïðåäìåòà è öåëèòå íà èçñëåäâàíåòî (êàêâî ñå î÷àêâà îò ìîäåëà), êàòî ñå ñòðåìè äà ñå ïðèäúðæà êúì ïðèíöèïà íà Îêàì (âúçìîæíî ïî-ïðîñò ìîäåë, ñ ìèíèìàëåí áðîé ïðîìåíëèâè).
Ãðàôè÷íèÿò àíàëèç íà îñòàòúöèòå îáèêíîâåíî ñå ïðèëàãà ïî ñúùèÿò íà÷èí, êàêòî ïðè ëèíåéíàòà ðåãðåñèÿ, íî ïðè íÿêîè íåëèíåéíè ìîäåëè ñå íàëàãà îñòàòúöèòå äà áúäàò ìîäèôèöèðàíè ïî ïîäõîäÿù íà÷èí ïðåäè äà óñïååì äà èçêîï÷èì ïîëåçíàòà èíôîðìàöèÿ, êîÿòî íîñÿò ñúñ ñåáå ñè.
Çíà÷èìîñòòà íà ðåãðåñèîííèòå êîåôèöèåíòè ìîæå äà ñå ïðîâåðè, êàêòî ïðè ëèíåéíàòà ðåãðåñèÿ – èç÷èñëåíàòà îöåíêà íà êîåôèöèåíòà ñå ðàçäåëÿ íà ñòàíäàðòíàòà ãðåøêà è ðåçóëòàòúò ñå ñðàâíÿâà ñ ïîäõîäÿùà òåñòîâà ñòàòèñòèêà. Òðÿáâà äà ñå èìà ïðåäâèä, ÷å ïðè íåëèíåéíàòà ðåãðåñèÿ, îöåíêàòà íà ñòàíäàðòíàòà ãðåøêà, êîÿòî ñå èçïîëçâà çà ïðîâåðêàòà çíà÷èìîñòòà íà ðåãðåñèîííèòå êîåôèöèåíòè ïîíÿêîãà ìîæå äà ñå ïîëó÷è èçìåñòåíà, íî êîãàòî îáåìúò íà èçâàäêàòà å äîñòàòú÷íî ãîëÿì, òîâà èçìåñòâàíå îáèêíîâåíî å â ïðèåìëèâè çà ïðàêòèêàòà ãðàíèöè.
Ïðèëàãàò ñå è äðóãè ïîäõîäè, êîèòî ïðè îïðåäåëåíè îáñòîÿòåëñòâà äàâàò ïî-äîáðè ðåçóëòàòè.
Ìàëêî îáùè ïðèêàçêè íàïèñàõ â òàçè òî÷êà, íî ìèñëÿ çà ïîâå÷åòî îò âàñ âå÷å ñòàíà ÿñíî, ÷å ïðè íåëèíåéíàòà ðåãðåñèÿ íåùàòà íå ñà òîëêîâà åäíîçíà÷íè è å íåâúçìîæíî äà áúäàò èç÷åðïàíè ñàìî ñ íÿêîëêî àáçàöà. Îáèêíîâåíî ñå íàëàãà äà ðåàãèðàìå íà ïðèíöèïà „ñïîðåä çàâèñè”, çàòîâà ïðåäè äà ïðåäïðèåìåòå íåùî êîíêðåòíî, íàïðàâåòå ñïðàâêà â ñïåöèàëèçèðàíàòà ëèòåðàòóðà îòíîñíî íåãîâàòà àäåêâàòíîñò.
2.6 Èíòåðïðåòèðàíå íà ðåçóëòàòèòå îò àíàëèçàÏðèíöèïíî ïîãëåäíàòî, íàïèñàíîòî çà ëèíåéíàòà ðåãðåñèÿ îòíîñíî èíòåðïðåòàöèÿòà íà ðåçóëòàòèòå âàæè è çà íåëèíåéíàòà. Íî ñúùåñòâóâàò è íÿêîè îñîáåíîñòè.
Òóê ñ îùå ïî-ãîëÿìî âíèìàíèå òðÿáâà äà ñå îòíàñÿìå êúì ïðåäóïðåæäåíèåòî çà åêñòðàïîëàöèÿ íà ìîäåëà. ×àñò îò íåëèíåéíèòå ìîäåëè ïðèòåæàâàò ò. íàð. ëîêàëíè åêñòðåìóìè (ìèíèìóìè èëè ìàêñèìóìè) – òîâà ñà ñòîéíîñòè, çà êîèòî êðèâàòà ïðîìåíÿ ñâîÿòà ïîñîêà. È àêî åäèí òàêúâ åêñòðåìóì ñå å „çàìàñêèðàë” íåéäå îêîëî êðàéíèòå ñòîéíîñòè íà íàáëþäàâàíàòà íåçàâèñèìà ïðîìåíëèâà, ëåñíî ìîæåì äà ñå äîñåòèì äî êàêâè ãðóáè ãðåøêè ìîæå äà äîâåäå åäíî íåâíèìàòåëíî åêñòðàïîëèðàíå, äîðè êîãàòî ñòàâà âúïðîñ çà ñúâñåì áëèçêè ïðîãíîçè.
Åòî çàùî, ñèëíî ïðåïîðú÷èòåëíî å â ïîäîáíè ñèòóàöèè èçñëåäîâàòåëÿò äà
âàëèäèðà íåëèíåéíèÿ ìîäåë, êàòî ïðåäîñòàâè îáåêòèâíè äîêàçàòåëñòâà çà íåãîâàòà ñïîñîáíîñò äà áúäå èçïîëçâàí êàòî èíñòðóìåíò çà ñúñòàâÿíå íà ïðîãíîçè. Òàêèâà äîêàçàòåëñòâà ìîãàò äà áúäàò: äîïúëíèòåëíè îïèòè èçâúí èíòåðâàëà íà ñúùåñòâóâàùèòå â ïîñîêà íà èíòåðåñóâàùàòà íè åêñòðàïîëàöèÿ; ïîçîâàâàíå íà ìèíàëè åêñïåðèìåíòàëíè äàííè èëè ñðàâíÿâàíå ñ ïîäõîäÿùè òåîðåòè÷íè ìîäåëè; èçïîëçâàíå íà ñïåöèàëíè ïðîöåäóðè çà êðúñòîñàíî âàëèäèðàíå (ò. íàð.
cross-validation) è äð.
Íåîáõîäèìî å äà ñå âíèìàâà è ïðè òúëêóâàíåòî íà ðåãðåñèîííèòå êîåôèöèåíòè. Çà ðàçëèêà îò ëèíåéíèòå ôóíêöèè, êîèòî ñà ïî-ëåñíî ðàçáèðàåìè äîðè è çà íåñïåöèàëèñòè, íåëèíåéíèòå íå ñà òîëêîâà èíòóèòèâíè è ëèïñàòà íà íÿêîè äîðè åëåìåíòàðíè ìàòåìàòè÷åñêè ïîçíàíèÿ ìîæå äà äîâåäå äî ãðóáè ãðåøêè â òÿõíîòî èíòåðïðåòèðàíå, à îò òàì è äî ïîãðåøíè èçâîäè.
Âàæíî å äà ñå çíàå, ÷å ïðè íåëèíåéíàòà ðåãðåñèÿ ÌÍÌÊ è ÌÌÏ íå âèíàãè îñèãóðÿâàò íåèçìåñòåíè è åôåêòèâíè** îöåíêè, êîãàòî îáåìúò íà èçâàäêàòà å ìàëúê. Ïîðàäè òåçè ïðè÷èíè, èíòåðïðåòàöèÿòà íà ðåçóëòàòèòå, îòíàñÿùè ñå äî äîâåðèòåëíè èíòåðâàëè è ïðîâåðêà íà õèïîòåçè òðÿáâà äà ñå èçâúðøâà ïðåäïàçëèâî è ñ ïðåçóìïöèÿòà, ÷å ïðè ìàëúê áðîé íàáëþäåíèÿ òå ìîãàò äà áúäàò ïî-íåñèãóðíè â ñðàâíåíèå ñ ëèíåéíàòà ðåãðåñèÿ. Ðàçáèðà ñå ñúùåñòâóâàò è ñå ïðèëàãàò ñúâðåìåííè ìåòîäè, êîèòî çà ðàçëèêà îò êëàñè÷åñêèòå ñà ïî-ìàëêî ÷óâñòâèòåëíè êúì ïîäîáíè ïðîáëåìè, íî òîâà â îáùèÿ ñëó÷àé óñëîæíÿâà íåùàòà, à ðåçóëòàòèòå â êðàéíà ñìåòêà íå âèíàãè ïðèäîáèâàò äîñòàòú÷íà çà öåëèòå íà èçñëåäâàíåòî ñèãóðíîñò. Ìîæå áè ïî-äîáðèÿò ïîäõîä e êîíñåðâàòèâíèÿò: âèíàãè êîãàòî èìàìå îñíîâàíèå äà î÷àêâàìå íåëèíåéíà âðúçêà ìåæäó èçñëåäâàíèòå âåëè÷èíè, ïî âúçìîæíîñò äà îñèãóðèì èçâàäêà ñ ïî-ãîëÿì îáåì. Êîëêî òî÷íî, íå ìîæå äà ñå êàæå åäíîçíà÷íî, íî å æåëàòåëíî äà áúäå ñ n>50. Ïðè÷èíàòà äà ñå ñòðåìèì êúì ïî-ãîëåìè èçâàäêè ïðè íåëèíåéíàòà ðåãðåñèÿ å, ÷å àêî îöåíêèòå ñå ïîëó÷àâàò èçìåñòåíè, ñ óâåëè÷àâàíåòî íà n òîâà èçìåñòâàíå ïîñòåïåííî íàìàëÿâà è îöåíêàòà êëîíè àñèìïòîòè÷íî êúì äåéñòâèòåëíàòà ñòîéíîñò.
Çà ñúæàëåíèå, òîâà å ÷àñò îò öåíàòà, êîÿòî òðÿáâà äà ïëàòèì çà ñâîáîäàòà íà äåéñòâèå, ïðåäëàãàíà íè îò íåëèíåéíèòå ðåãðåñèîííè ìîäåëè. Íî íå å ëè òîçè ïðîáëåì ôóíäàìåíòàëåí çà öÿëîòî íè îáùåñòâî? Íåîáõîäèìî ëè å äà ñå ðàçäåëèì ñ ÷àñò îò ñâîáîäàòà ñè, çà äà èìàìå ïîâå÷å ñèãóðíîñò? Íå å ëè òîâà åäíà òâúðäå âèñîêà öåíà?
Ñïèðàì äîòóê, çàùîòî íàòàòúê ñòàòèñòèêàòà íå ìîæå äà ïîìîãíå.
** Íåèçìåñòåíîñòòà è åôåêòèâíîñòòà ñà âàæíè ñâîéñòâà íà ñòàòèñòè÷åñêèòå îöåíêè. Ïúðâîòî ïîêàçâà äîêîëêî îöåíêàòà ñúâïàäà ñ äåéñòâèòåëíèÿ (òúðñåíèÿ) ïàðàìåòúð, à âòîðîòî ñðàâíÿâà îöåíêèòå ïî òÿõíîòî ðàçñåéâàíå. Äðóãè ñâîéñòâà íà îöåíêèòå ñà ñúñòîÿòåëíîñò è äîñòîâåðíîñò. Çà ïîâå÷å èíôîðìàöèÿ âèæ ñïåöèàëèçèðàíàòà ëèòåðàòóðà.