ÐÅÃÐÅÑÈÎÍÅÍ ÀÍÀËÈÇ
Äíåñ, â óñëîâèÿòà íà ãëîáàëíî ðàçâèâàùè ñå ïàçàðè è ãàëîïèðàùè òåõíîëîãèè, âñå ïî-÷åñòî íè ñå íàëàãà áúðçî äà âçåìàìå âàæíè ðåøåíèÿ â óñëîâèÿòà íà íåäîñòèã íà èíôîðìàöèÿ. Ñ äðóãè äóìè, îáñòîÿòåëñòâàòà íè ïðèíóæäàâàò äà ÏÐÅÄÂÈÆÄÀÌÅ.
Êîðåëàöèîííèÿò àíàëèç ïîñòåïåííî å çàãóáèë ñâîåòî çíà÷åíèå, êàòî ñàìîñòîÿòåëíî ïðèëîæèì ìåòîä çà àíàëèç íà çàâèñèìîñòè. Íåãîâèÿò ïî-ãîëÿì áðàò, ðåãðåñèîííèÿò àíàëèç, ïðèòåæàâà íÿêîè ïðåäèìñòâà, êîèòî ùå íè ïîìîãíàò äà íàïðàâèì åäíî íàó÷íî îáîñíîâàíî ïðåäâèæäàíå:
– ìàòåìàòè÷åñêî ìîäåëèðàíå íà ôîðìàòà íà çàâèñèìîñòòà;
– êîëè÷åñòâåíî èçìåðâàíå íà çàâèñèìîñòòà.
Ïîíÿòèåòî ðåãðåñèÿ å óïîòðåáåíî çà ïðúâ ïúò îò Ôðàíñèñ Ãàëòîí (áðàòîâ÷åä íà Äàðâèí) âúâ âðúçêà ñ èçñëåäâàíèÿ íà íàñëåäñòâåíîñòòà. Òîé óñòàíîâèë, ÷å äåöàòà íàñëåäÿâàò áåëåçèòå íà ñâîèòå ðîäèòåëè, íî ÷àñòè÷íî. Íàïðèìåð, ñòàòèñòè÷åñêè ïîãëåäíàòî ñå çàáåëÿçâà òåíäåíöèÿ ðîäèòåëèòå ñ îòíîñèòåëíî ïî-âèñîê ðúñò ñïðÿìî ñðåäíèÿ, äà èìàò äåöà ñ ðúñò áëèçúê äî ñðåäíèÿ. Ñ äðóãè äóìè òâúðäå âåðîÿòíî å âèñîêèòå ðîäèòåëè äà èìàò ñúùî âèñîêè äåöà, íî íå ÷àê òîëêîâà. Òàçè çàêîíîìåðíîñò Ãàëòîí íàðåêúë ðåãðåñèÿ, ò.å. âðúùàíå íàçàä. Äíåñ, òåðìèíúò å ñòàíàë íàðèöàòåëåí çà åäèí îò ìåòîäèòå çà àíàëèç íà çàâèñèìîñòòè – ðåãðåñèîííèÿ àíàëèç, êîåòî â èíòåðåñ íà èñòèíàòà íå îòðàçÿâà ñúâñåì òî÷íî íåãîâàòà ñúùíîñò.
×àñò I. ËÈÍÅÉÍÀ ÐÅÃÐÅÑÈß
1.1 ÂúâåäåíèåËèíåéíàòà ðåãðåñèÿ å íàé-÷åñòî èçïîëçâàíèÿ ìåòîä çà àíàëèç ïðè èçó÷àâàíå íà âçàèìîâðúçêèòå ìåæäó ÿâëåíèÿòà. Ïðèëîæåíèåòî ìó å îáîñíîâàíî, êîãàòî âðúçêàòà ìåæäó ïðîìåíëèâèòå ìîæå äà ñå îïèøå ñ ïðîñòà ëèíåéíà ôóíêöèÿ.
1.2 Ìàòåìàòè÷åñêè ìîäåëÙå ñå îãðàíè÷èì äà ðàçãëåäàìå ñàìî
åäíîôàêòîðíà ëèíåéíà ðåãðåñèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêèÿò ìîäåë íà ôîðìàòà íà çàâèñèìîñòòà, êàêòî ïîäñêàçâà îïðåäåëåíèåòî ùå áúäå ïðàâà ëèíèÿ. Âñÿêà ïðàâà â ðàâíèíàòà, ìîæå äà ñå ïðåäñòàâè ñ óðàâíåíèå îò âèäà:
y =s + kx, êîåòî ñå íàðè÷à
äåêàðòîâî óðàâíåíèå íà ïðàâà.
s – îòðÿçúê – ðàçñòîÿíèåòî, êîåòî ïðàâàòà îòðÿçâà îò îðäèíàòàòà Îy
k = tgα – úãëîâ êîåôèöèåíò íà ïðàâàòà – îòðàçÿâà íàêëîíà íà ïðàâàòà ñïðÿìî àáñöèñàòà Îõ;
Íà êàðòèíêà áè òðÿáâàëî äà èçãëåæäà òàêà:

Êîëêî ëåñíî å ïðè çàâèñèìîñòèòå îò ÷èñò ôóíêöèîíàëåí òèï – íà âñÿêà ñòîéíîñò íà àðãóìåíòà, ñúîòâåòñòâà òî÷íî åäíà ñòîéíîñò íà ôóíêöèÿòà. Ñëåäîâàòåëíî, àêî çíàåì êîåôèöèåíòèòå k è s, ëåñíî ìîæåì äà èç÷èñëèì çà âñÿêà ñòîéíîñò íà x, ñúîòâåòíèòíàòà ñòîéíîñò íà y è äà ïîñòðîèì íàøàòà ïðàâà â ðàâíèíàòà.
1.3 Ðåãðåñèîíåí ìîäåëÂðåìå å äà íàïðàâèì âðúçêàòà ìåæäó àíàëèòè÷íàòà ãåîìåòðèÿ è ñòàòèñòèêàòà, â ÷àñòíîñò ðåãðåñèîííèÿ àíàëèç. Çà öåëòà äà ñå âúðíåì êúì âå÷å ïîçíàòàòà íè äèàãðàìà íà ðàçñåéâàíå, êîÿòî íè äàâà êîðåëàöèîííàòà âðúçêà ìåæäó äâå ïðîìåíëèâè: íåçàâèñèìà (ôàêòîðåí ïðèçíàê) è çàâèñèìà (ðåçóëòàòèâåí ïðèçíàê).

Êàêòî ñå âèæäà îò äèàãðàìàòà, ðàçïîëàãàìå ñ ìíîæåñòâî òî÷êè, êîèòî îòðàçÿâàò åäíà ñòàòèñòè÷åñêà êîðåëàöèîííà çàâèñèìîñò. Ñòàòèñòè÷åñêà, çàùîòî å âúçìîæíî äà ñå óñòàíîâè ñàìî ïðè ãîëÿì áðîé íàáëþäåíèÿ, è êîðåëàöèîííà – çàùîòî íà âñÿêà ñòîéíîñò íà íåçàâèñèìàòà ïðîìåíëèâà, ñúîòâåòñòâàò ïîâå÷å îò åäíà ñòîéíîñòè íà çàâèñèìàòà. Òúðñåíàòà ïðàâà ìîæå äà ñå îïèøå ñúñ ñëåäíèÿ òåîðåòè÷åí ìîäåë:

êúäåòî
β
1, β
0 – êîåôèöèåíòè íà ìîäåëà, êîèòî íà òîçè åòàï ñà íè íåèçâåñòíè;
ε – ãðåøêà íà ðåãðåñèÿòà, êúì êîÿòî êàêòî ùå âèäèì íàòàòúê ùå èìàìå åäíî ïî-ñïåöèàëíî îòíîøåíèå.
Ñëåäîâàòåëíî, çàäà÷àòà èìà ìíîãî ðåøåíèÿ, âñÿêî îò êîèòî íåìèíóåìî ùå áúäå ñâúðçàíî ñ íÿêàêâà íåòî÷íîñò (âñúùíîñò, ìàêàð è âúçìîæíî, å ìàëêî âåðîÿòíî, êîãàòî èçñëåäâàìå íåïðåêúñíàòè ñëó÷àéíè âåëè÷èíè, ïðè íÿêîè îò äâîéêèòå èçìåðåíàòà è èç÷èñëåíàòà âåëè÷èíà äà ñúâïàäíàò). Òîãàâà, êúäå èçìåæäó âñè÷êè òî÷êè äà ïðåêàðàìå îíàçè ïðàâà, êîÿòî ùå îïèøå
íàé-òî÷íî òúðñåíèÿ îò íàñ ðåãðåñèîíåí ìîäåë?
Çà íàøå ùàñòèå ñúùåñòâóâàò ìàòåìàòè÷åñêè ìåòîäè, êîèòî óñïåøíî ñå ñïðàâÿò ñ òàçè çàäà÷à. Åäèí îò íàé-÷åñòî èçïîëçâàíèòå å
ìåòîäúò íà íàé ìàëêèòå êâàäðàòè (ÌÍÌÊ) (ïðèëîæåí çà ïðúâ â ñòàòèñòèêàòà ïúò îò Êàðë Ãàóñ), ñúãëàñíî êîéòî àïðîêñèìèðàùàòà ïðàâà ñå ïðåêàðâà òàêà, ùîòî äà å èçïúëíåíî óñëîâèåòî
ñóìàòà îò êâàäðàòèòå íà âñè÷êè ðàçëèêè ìåæäó åìïèðè÷íè è òåîðåòè÷íè ñòîéíîñòè äà áúäå ìèíèìàëíà, èëè:

êúäåòî
y
i - åìïèðè÷íè ñòîéíîñòè íà ðåçóëòàòèâíèÿ ïðèçíàê, ò.å. òåçè, êîèòî ñìå ïîëó÷èëè â ðåçóëòàò íà íàøèòå íàáëþäåíèÿ (òîâà ñà òî÷êèòå îò äèàãðàìàòà íà ðàçñåéâàíå);
ŷ
i – ïðåäâèäåíè ñòîéíîñòè íà ðåçóëòàòèâíèÿ ïðèçíàê, ò.å. òåçè, êîèòî òðÿáâà äà èç÷èñëèì ïî íàøèÿ ìîäåë èëè îùå îöåíåíè ñòîéíîñòè, êàêòî ñå èçðàçÿâàò ñòàòèñòèöèòå (òîâà ñà òî÷êèòå, ïðåç êîèòî òðÿáâà äà ìèíå ïðàâàòà).
n e áðîÿò íà íàáëþäåíèÿòà
Çàáåëåæêà: îò òóê íàòàòúê, îöåíåíèòå ñòîéíîñòè ùå ðàçëè÷àâàìå ïî êàëïà÷åòî âúðõó ñúîòâåòíèÿ ñèìâîë. Îöåíåíèòå ñòîéíîñòè ñà âèíàãè íÿêàêâî ïðèáëèæåíèå íà äåéñòâèòåëíèòåÍåêà çà ïî-ÿñíî ñå îïèòàìå äà èëþñòðèðàìå ãîðíîòî ñ åäíà êàðòèíêà:

Öåëòà å, ïðèëàãàéêè ÌÍÌÊ çà íàøàòà èçâàäêà, äà èç÷èñëèì îöåíêèòå íà êîåôèöèåíòèòå íà ìîäåëà, ñëåä êîåòî èìàéêè ñòîéíîñòèòå íà íåçàâèñèìèÿ ôàêòîð (x), äà îöåíèì ñòîéíîñòèòå íà ðåçóëòàòèâíèÿ ïðèçíàê (y) è ïîñòðîèì íàøàòà ïðàâà. Ñëåäâàò ðåäèöà ìàòåìàòè÷åñêè îïåðàöèè, êîèòî ñìÿòàì äà ñïåñòÿ, à ïî-ëþáîçíàòåëíèòå ùå íàìåðÿò èç äåáåëèòå êíèãè. Ñëåä ìàëêî äèôåðåíöèðàíå, ðåøàâàíå íà åäíà ñèñòåìà îò äâå óðàâíåíèÿ ñ äâå íåèçâåñòíè è íÿêîé ïðåîáðàçîâàíèÿ, çà êîåôèöèåíòèòå íà ïðàâàòà ñå ïîëó÷àâà åäíà íà ïðúâ ïîãëåä ñòðÿñêàùà è åäíà íå òîëêîâà ôîðìóëè:

Äà æèâåå ñîôòóåðà!
Òîãàâà, ìîäåëúò íà òúðñåíàòà îò íàñ ïðàâà å:
β1 âå÷å ùå íàðè÷àìå
ðåãðåñèîíåí êîåôèöèåíò, êîéòî ïîêàçâà ñ êîëêî ùå ñå èçìåíè çàâèñèìàòà ïðîìåíëèâà y, ïðè åäèíèöà èçìåíåíèå íà íåçàâèñèìàòà õ
β0 – ñâîáîäåí ÷ëåí
È ïîíåæå âå÷å ñå ïðèìèðèõìå, ÷å íàøàòà àïðîêñèìèðàùà ïðàâà íÿìà äà îòðàçÿâà ñúâñåì òî÷íî èçñëåäâàíàòà çàâèñèìîñò, à ñ íÿêàêâà ãðåøêà (ìèíèìèçèðàíà äîêîëêîòî å âúçìîæíî îò ïðèëîæåíèÿ ÌÍÌÊ), ìîæåì äà çàïèøåì:
e å òî÷íî îíàçè ðàçëèêà ìåæäó åìïèðè÷íàòà è òåîðåòè÷íàòà ñòîéíîñò, êîÿòî òðÿáâàøå äà áúäå ìèíèìàëíà, íî âå÷å áåç äà ÿ ïîâäèãàìå íà êâàäðàò.Òàçè ðàçëèêà ñå íàðè÷à
îñòàòúê. Âúïðåêè, ÷å îñòàòúöèòå âå÷å èçïúëíèõà ñâîÿòà îñíîâíà ðîëÿ ïðè ïðèëàãàíåòî íà ÌÍÌÊ, íèå âñå îùå íÿìà äà ãè èõâúðëÿìå â êîø÷åòî (êúäåòî â ðåàëíèÿ æèâîò å ìÿñòîòî íà âñè÷êè îñòàòúöè), à êàòî åäíè èñòèíñêè Ïëþøêèíè íà ñòàòèñòèêàòà, ùå ñè ãè èç÷èñëèì è ïðèáåðåì ãðèæëèâî â ÷åêìåäæåòî. Ñ òÿõíà ïîìîù ùå äúðæèì ïîä îêî ãðåøêàòà ε è ïî íàòàòúê ùå íàïðàâèì íÿêîè âàæíè ïðîâåðêè îòíîñíî ÀÄÅÊÂÀÒÍÎÑÒÒÀ íà ðåãðåñèîííèÿ ìîäåë.
È òàêà, íàé-ïîñëå ïîëó÷èõìå òàêà áëåíóâàíèÿ îò íàñ ðåãðåñèîíåí ìîäåë. Äà ñå ÷óäè ÷îâåê, êîëêî ìíîãî ñå èçïèñà (ìàêàð è îùå ïîâå÷å äà ñå ñïåñòè) ñàìî çà åäíà îáèêíîâåíà ïðàâà. Ñåãà îñòàâà â óðàâíåíèåòî äà çàìåñòèì âå÷å èçâåñòíèòå íè îöåíêè íà êîåôèöèåíòèòå íà ìîäåëà
β1 è
β0 (òåçè ñ êàëïà÷åòàòà), ñëåä êîåòî äàâàéêè ðàçëè÷íè çíà÷åíèÿ íà íåçàâèñèìàòà ïðîìåíëèâà õ, äà ïðåäâèäèì ðåçóëòàòà ŷ.
Íÿêîé íåòúðïåëèâè „èçñëåäîâàòåëè” áèõà ñïðåëè äî òóê, ðåøàâàéêè ÷å ñà ñâúðøèëè ñâîÿòà ðàáîòà, íî ñúùåñòâóâà íåìàëêà âåðîÿòíîñò äà ñãðåøàò. Çàùîòî òàêà ïîñòðîåí, ðåãðåñèîííèÿò ìîäåë ëåæè íà íåñèãóðíîñòòà íà îïðåäåëåíè äîïóñêàíèÿ, íàëîæåíè îò ãðàíèöèòå íà íàøåòî ïîçíàíèå.
1.4 Âàæíè äîïóñêàíèÿÐåãðåñèîííèÿò ìîäåë å èçâåäåí íà áàçàòà íà íÿêîëêî äîïóñêàíèÿ – åäíè îò òÿõ âàæíè, äðóãè – íå òîëêîâà. Íÿêîé ñå èçïúëíÿâàò ÷åñòî â äåéñòâèòåëíîñòòà, äðóãè ïî-ðÿäêî. Çà ÷àñò îò òÿõ äîðè ñúùåñòâóâàò ìåòîäè çà äîïúëíèòåëíà îáðàáîòêà íà ìîäåëà, êîèòî ãî ïðàâÿò íå÷óâñòâèòåëåí êúì íåèçïúëíåíèåòî èì. Ïðèíöèïíî ïîãëåäíàòî, êîëêîòî ïîâå÷å îò òåçè äîïóñêàíèÿ ñà èçïúëíåíè, ñ òîëêîâà ïî-ãîëÿìî äîâåðèå ìîæåì äà ñå îòíåñåì êúì ðåçóëòàòèòå îò àíàëèçà. Åäèí ðåãðåñèîíåí ìîäåë å ÀÄÅÊÂÀÒÅÍ, êîãàòî íÿìà àëòåðíàòèâåí òàêúâ, êîéòî äà îïèñâà äåéñòâèòåëíàòà ñèòóàöèÿ ïî-äîáðå. Ñ äðóãè äóìè, ïðè ðåãðåñèîííèÿ àíàëèç ñå ïðèëàãà ïðèíöèïúò íà Îêàì, ñïîðåä êîéòî íàé-ïðîñòîòî îáÿñíåíèå å è íàé-âÿðíî, äîêàòî íå ñå íàìåðè äðóãî, ïî-ñëîæíî, êîåòî äà ãî îïðîâåðãàå. Àêî ïðîñòèÿò ëèíååí ìîäåë ñå îêàæå íåàäåêâàòåí, òîãàâà óñëîæíÿâàìå íåùàòà è òúðñèì íîâ îò ïî-âèñîêà ñòåïåí, êîéòî ïðè âúçìîæíîñò äà òðàíñôîðìèðàìå ïî ïîäõîäÿù íà÷èí îòíîâî äî ëèíååí.
Ïîäðîáíîòî ðàçãëåæäàíå íà ïðîáëåìèòå ñâúðçàíè ñ àäåêâàòíîñòòà íà ìîäåëà èçëèçà èçâúí ðàìêèòå íà òîâà êðàòêî îïèñàíèå (ïî âúïðîñà èìà íàïèñàíè öåëè íàó÷íè òðóäîâå). Åòî çàùî, ùå ñå îãðàíè÷èì äà èçáðîèì ñàìî íÿêîé îò ïî-âàæíèòå äîïóñêàíèÿ:
– õ è y ñà íåïðåêúñíàòè ñëó÷àéíè âåëè÷èíè, ïðåäñòàâèòåëè íà ñèëíèòå ñêàëè;
– êîðåëàöèîííàòà çàâèñèìîñò ìåæäó x è y å ëèíåéíà;
– ãðåøêèòå ε ñà íåêîðåëèðàíè íîðìàëíî ðàçïðåäåëåíè ñëó÷àéíè âåëè÷èíè ñ íóëåâî ìàòåìàòè÷åñêî î÷àêâàíå è åäíàêâè äèñïåðñèè σ
2 çà âñÿêî õ.
1.5 Ïðîâåðêè çà àäåêâàòíîñò íà ðåãðåñèîííèÿ ìîäåë– àíàëèç íà îñòàòúöèòå
Âàæíà èíôîðìàöèÿ îòíîñíî àäåêâàòíîñòòà íà ðåãðåñèîííèÿ ìîäåë ìîæå äà íè äàäå âèçàóëíèÿò
àíàëèç íà îñòàòúöèòå. Ñåãà ìó å âðåìåòî äà ãè èçâàäèì îò ÷åêìåäæåòî, êúäåòî ïðåäâèäëèâî ãè áÿõìå ïðèáðàëè, çàùîòî èìåííî ÷ðåç òÿõ ùå ïðîâåðèì äàëè ñà èçïúëíåíè äîïóñêàíèÿòà îòíîñíî ìîäåëà. Çà öåëòà ñå ïîñòðîÿâàò äèàãðàìè íà ðàçïðåäåëåíèåòî íà îñòàòúöèòå ñïðÿìî y, ŷ, x, t. Ïðè âñè÷êè ïðîãðàìè, èìàùè ïðåòåíöèèòå äà ïðàâÿò ñòàòèñòè÷åñêè àíàëèçè, òîâà áè òðÿáâàëî äà ñòàâà àâòîìàòè÷íî. Íà äîëíàòà ôèãóðà ñà ïîêàçàíè íÿêîëêî ïðèìåðà çà òàêèâà äèàãðàìè:

Äèàãðàìà (a) ïîêàçâà àäåêâàòåí ìîäåë îò ãëåäíà òî÷êà íà ïîñòîÿíñòâî íà äèñïåðñèèòå. Òî÷êèòå ñà ðàçïîëîæåíè îòíîñèòåëíî ðàâíîìåðíî îêîëî è ïî öÿëîòî ïðîòåæåíèå íà àáöèñíàòà îñ.
Äèàãðàìè (b-h) ïîêàçâàò íàëè÷èå íà ðàçëè÷íè àíîìàëèè â ðåãðåñèîííèÿ ìîäåë: íåïîñòîÿííè äèñïåðñèè, íåëèíåéíîñò, êîðåëàöèè, ïåðèîäè÷íîñò – âñè÷êèòå òå, ÿñåí ïðèçíàê çà ñúìíåíèÿ îòíîñíî àäåêâàòíîñòòà íà ìîäåëà.
Àêî ñòàíäàðòèçèðàìå îñòàòúöèòå è çàáåëåæèì íÿêîé „ñàìîòíèê” äà ñå å êðîòíàë èçâúí èíòåðâàëà (-2, +2), êàêòî å ïîêàçàíî íà äèàãðàìà (i), ìîæåì äà òâúðäèì, ÷å å íàëèöå íåòèïè÷íà ñïðÿìî îñòàíàëèòå ñòîéíîñò. Òîâà ìîæå äà ñå äúëæè íà ãðóáà ãðåøêà â èçìåðâàíåòî, êîÿòî çíà÷èòåëíî äà èçêðèâè ðåçóëòàòèòå îò àíàëèçà. Íî å âúçìîæíî äà ñå äúëæè è íà íÿêàêâî ñïåöèôè÷íî ñìóùåíèå, êîåòî áè ïðåäñòàâëÿâàëî èíòåðåñ çà íàñ êàòî èçñëåäîâàòåëè. Êàêòî è ïðè âçàèìîîòíîøåíèÿòà ñ õîðàòà, òàêà è òóê å ïî-äîáðå ïúðâî äà ñå îïèòàìå äà ðàçáåðåì „ñàìîòíèöèòå”, à íå àâòîìàòè÷íî äà ãè îòõâúðëèì îò îáùåñòâîòî, ïàðäîí îò åêñïåðèìåíòà.
Ðàçáèðà ñå, îñâåí àíàëèçà íà îñòàòúöèòå, çà ïðîâåðêà íà àäåêâàòíîñòòà íà ìîäåëà ìîãàò äà ñå èçïîëçâàò è äðóãè ñòàòèñòè÷åñêè èíñòðóìåíòè, íàïðèìåð: äèñïåðñèîíåí àíàëèç, êðèòåðèè çà ñúãëàñèå, õèñòîãðàìè, íîðìàëíè âåðîÿòíîñòè äèàãðàìè.
– çíà÷èìîñò íà êîåôèöèåíòèòå íà ìîäåëà
Òóê íàé-âàæíî å äà ïðîâåðèì çíà÷èìîñòòà íà ðåãðåñèîííèÿ êîåôèöèåíò β
1, Ïî òîçè íà÷èí ùå ïîòâúðäèì èëè îòõâúðëèì àäåêâàòíîñòòà íà ìîäåëà îò ãëåäíà òî÷êà íà íàëè÷èåòî íà
ëèíåéíà êîðåëàöèîííà çàâèñèìîñò ìåæäó õ è y. Àêî β
1 = 0, òîâà îçíà÷àâà, ÷å íå ñúùåñòâóâà ëèíåéíà âðúçêà (îò êîåòî íå ñëåäâà, ÷å èçîáùî íÿìà âðúçêà – íàïðèìåð òàêàâà îò ïî-âèñîêà ñòåïåí).
Çà öåëòà èçäèãàìå äâåòå õèïîòåçè:
H
0: β
1 = 0
H
1: β
1 ≠ 0
Îòõâúðëÿíåòî íà íóëåâàòà õèïîòåçà òðÿáâà äà íè ïîäñêàæå, ÷å èìà ëèíåéíà âðúçêà ìåæäó x è y.
Ñòàòèñòèêàòà
ñëåäâà t-ðàçïðåäåëåíèåòî íà Ñòþäúíò ñ n-2 ñòåïåíè íà ñâîáîäà.
Íåèçâåñòíàòà ñòîéíîñò íà äèñïåðñèÿòà σ
2 íà ñëó÷àéíàòà ãðåøêà ε ùå îöåíèì îòíîâî ñ ïîìîùòà íà ëþáèìèòå íè îñòàòúöè:

Èçðàçúò Sxx íå å íèùî ïîâå÷å îò çíàìåíàòåëÿ íà âå÷å ïîçíàòàòà íè ôîðìóëàòà çà èç÷èñëåíèå íà ðåãðåñèîííèÿ êîåôèöèåíò, ò.å.:

Òîãàâà àêî |t
0| > t [α/2, n-2], íóëåâàòà õèïîòåçà ñå îòõâúðëÿ è ñå ïðèåìà àëòåðíàòèâíàòà, ò.å. ðåãðåñèîííèÿ êîåôèöèåíò β
1 å ñòàòèñòè÷åñêè çíà÷èì.
1.6 Èíòåðïðåòèðàíå íà ðåçóëòàòèòå îò àíàëèçàÎùå â ñàìîòî íà÷àëî îòáåëÿçàõìå åäíî îñíîâíî ïðåäèìñòâî íà ðåãðåñèîííèÿ àíàëèç ïðåä îñòàíàëèòå ìåòîäè çà àíàëèç íà çàâèñèìîñòè, à èìåííî – âúçìîæíîñòòà çà êîëè÷åñòâåíîòî èçìåðâàíå íà èçñëåäâàíèòå âçàèìîâðúçêè. Òîâà ïðåäèìñòâî ùå íè ïîìîãíå äà ÏÐÅÄÂÈÆÄÀÌÅ ñ îïðåäåëåíà âåðîÿòíîñò ñòîéíîñòèòå íà ðåçóëòàòèâíèÿ ïðèçíàê (y), ÷ðåç çàäàâàíå íà ñòîéíîñòè íà ôàêòîðíèÿ ïðèçíàê (x).
À çàùî íå è îáðàòíîòî – ïî òàêà èçâåäåíèÿ ìîäåë, çàäàâàéêè ñòîéíîñòè íà (y), äà ïðåäâèäèì òåçè çà (õ)?
Ãðåøêà! Çà ðàçëèêà îò ôóíêöèîíàëíèòå óðàâíåíèÿ, ñòàòèñòè÷åñêèòå ìîäåëè íå ñà îáðàòèìè. Âåäíúæ ïîñòðîåí, ìîäåëúò (x.y) îïèñâà òàçè âðúçêà åäíîïîñî÷íî. Àêî èñêàìå äà ïðåäâèæäàìå (õ) ïî (y), å íåîáõîäèìî äà ïîñòðîèì íîâ ðåãðåñèîíåí ìîäåë (y.x), ïðèëàãàéêè ÌÍÌÊ îòíîâî, íî ñïðÿìî (õ).
Íÿêîé ìîæå áè ùå ñå èçêóøàò äà ïîïèòàò: à çàùî íå ðàçøèðèì õîðèçîíòà íà ïðåäâèæäàíåòî îòâúä ãðàíèöèòå íà ïîëó÷åíèòå ñòîéíîñòè çà (õ), ò.å äà ñå îïèòàìå äà ÏÐÎÃÍÎÇÈÐÀÌÅ?.
Òðÿáâà äà îòáåëåæèì, ÷å ïîäîáíè ïðîãíîçè ñà âúçìîæíè, íî îáèêíîâåíî ñà íåñèãóðíè, à ïîíÿêîãà è áåçñìèñëåíè.
Ðåãðåñèîííèÿò ìîäåë ÍÅ Å íåïðåìåííî âàëèäåí ïðè ïðîâåæäàíåòî íà åêñòðàïîëàöèîííè ïðîöåäóðè. Åñòåñòâåíî ìîãàò äà ñå ïðåäïðèåìàò íÿêîé äåéñòâèÿ â ïîñîêà âàëèäèðàíå íà ìîäåëà çà åäíî êîíêðåòíî ïðèëîæåíèå. Êàêâîòî è äà ñå ïðàâè îáà÷å, ïîëó÷åíèòå ðåçóëòàòè òðÿáâà äà ñå òúëêóâàò
ìíîãî ïðåäïàçëèâî, îñîáåíî aêî ñìå ñå îòäàëå÷èëè äîñòà îò èíòåðâàëà íà ñòîéíîñòèòå çà (õ) ïîëó÷åíè ïðè åêñïåðèìåíòà.
Íå ìå ïèòàéòå çàùî, à ñè ñïîìíåòå çà ìîìåíòà, êîãàòî ñèíîïòèöèòå çà ïîðåäåí (íî íå è ïîñëåäåí) ïúò ðàçáèõà íà ïóõ è ïðàõ âàøèòå ïëàíîâå çà äúëãîî÷àêâàíàòà è òàêà áëåíóâàíà ïî÷èâêà.
Êàêòî è ïðè êîðåëàöèîííèÿ àíàëèç, òàêà è òóê ìîæåì äà óñòàíîâèì ñàìî äàëè ñúùåñòâóâà çàâèñèìîñò ìåæäó äâåòå ïðîìåíëèâè, íî íå è äà ïðàâèì ãåíåðàëíî çàêëþ÷åíèå çà íàëè÷èå íà ïðè÷èííî-ñëåäñòâåíà âðúçêà ìåæäó òÿõ. Ñàìî òî÷íî ïëàíèðàí åêñïåðèìåíò, âêëþ÷âàù è õàðàêòåðíè àíàëèòè÷íè ìåòîäè îò îáëàñòòà íà íàóêàòà, êúäåòî ñå ïðèëàãà ðåãðåñèîííèÿ àíàëèç, ìîæå äà óñòàíîâè êîÿ îò èçñëåäâàíèòå âåëè÷èíè ñå ÿâÿâà ïðè÷èíà è êîÿ ñëåäñòâèå.